Teorema Fundamental do Cálculo 📘🔢

O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) estabelece a relação entre diferenciação e integração, sendo um dos pilares do Cálculo. Ele possui duas partes principais, que conectam a área sob uma curva com a antiderivada da função.

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1ª Parte do Teorema Fundamental do Cálculo ✅

Seja $f(x)$ uma função contínua em um intervalo $[a, b]$, e definimos a função:

$$F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \,dt$$

Então, $F(x)$ é uma primitiva de $f(x)$, ou seja, sua derivada é igual a $f(x)$:

$$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \, dt = f(x)$$

Interpretação

Essa parte do teorema diz que a derivada da integral de uma função retorna a própria função original. Ou seja, a integral acumulada de $f(x)$ mede a área sob a curva desde $a$ até $x$, e a taxa de variação dessa área é simplesmente $f(x)$.

Exemplo

Seja $f(x) = x^2$, e definimos:

$$F(x) = \int_0^x t^2 \,dt$$

Calculamos a integral:

$$F(x) = \frac{x^3}{3}$$

Derivamos $F(x)$:

$$F'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^3}{3} \right) = x^2$$

Ou seja, voltamos à função original $f(x) = x^2$, confirmando o teorema.

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2ª Parte do Teorema Fundamental do Cálculo 🏆

Seja $F(x)$ uma primitiva (ou antiderivada) de $f(x)$, então a integral definida de $f(x)$ no intervalo $[a, b]$ pode ser calculada como:

$$\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$$

Interpretação

Essa parte do teorema afirma que podemos calcular a área sob a curva de $f(x)$ apenas encontrando uma antiderivada $F(x)$ e avaliando-a nos extremos $a$ e $b$.

Exemplo

Seja $f(x) = x^2$, e queremos calcular:

$$\int_{1}^{3} x^2 \,dx$$

1️⃣ Encontre a primitiva:

$$F(x) = \frac{x^3}{3}$$

2️⃣ Avalie em $b = 3$ e $a = 1$:

$$F(3) = \frac{3^3}{3} = \frac{27}{3} = 9$$ $$F(1) = \frac{1^3}{3} = \frac{1}{3}$$

3️⃣ Aplique a fórmula:

$$\int_{1}^{3} x^2 \,dx = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$$

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Aplicações do Teorema Fundamental do Cálculo 🚀

1️⃣ Cálculo de áreas: Determina a área sob uma curva.
2️⃣ Movimento e deslocamento: Se $v(t)$ é a velocidade de um objeto, sua posição é dada pela integral de $v(t)$.
3️⃣ Economia e finanças: A integral de uma função de custo marginal fornece o custo total.
4️⃣ Física e engenharia: Usado no cálculo de trabalho, energia e fluxos.

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Conclusão 🎯

O Teorema Fundamental do Cálculo conecta diferenciação e integração, permitindo calcular áreas e resolver problemas complexos de maneira simples. Ele é um dos conceitos mais importantes do Cálculo e tem aplicações em diversas áreas da ciência e engenharia.