Teorema de Rouché-Capelli

 

O Teorema de Rouché-Capelli é um resultado fundamental da Álgebra Linear que determina a existência e a quantidade de soluções de um sistema de equações lineares. Ele se baseia na comparação entre o posto da matriz dos coeficientes e o posto da matriz aumentada do sistema.

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Enunciado do Teorema de Rouché-Capelli 📏

Dado um sistema de equações lineares da forma:

$$A \mathbf{x} = \mathbf{b}$$

onde:

• $A$ é a matriz dos coeficientes ($m \times n$),

• $\mathbf{x}$ é o vetor das incógnitas ($n \times 1$),

• $\mathbf{b}$ é o vetor dos termos independentes ($m \times 1$),

definimos:

• Matriz dos coeficientes: $A$.

• Matriz aumentada: $[A | \mathbf{b}]$, que é a matriz dos coeficientes com uma coluna adicional representando os termos independentes.

Então, o Teorema de Rouché-Capelli afirma:

1. O sistema tem solução se, e somente se, o posto da matriz dos coeficientes $A$ for igual ao posto da matriz aumentada $[A | \mathbf{b}]$:

   $$\text{posto}(A) = \text{posto}([A | \mathbf{b}])$$

2. Se o posto de $A$ for igual ao número de incógnitas ($n$), o sistema tem uma única solução.

3. Se o posto de $A$ for menor que $n$, o sistema tem infinitas soluções (quando o sistema é compatível).

4. Se o posto de $A$ for menor que o posto de $[A | \mathbf{b}]$, então o sistema é incompatível e não possui solução.

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Classificação dos Sistemas

Com base no teorema, um sistema pode ser classificado em:

1. Sistema compatível determinado (SCD) 🎯

   • O sistema tem uma única solução.

   • Ocorre quando $\text{posto}(A) = \text{posto}([A | \mathbf{b}]) = n$ (número de incógnitas).

2. Sistema compatível indeterminado (SCI) ♾️

   • O sistema tem infinitas soluções.

   • Ocorre quando $\text{posto}(A) = \text{posto}([A | \mathbf{b}]) < n$.

3. Sistema incompatível (SI) ❌

   • O sistema não tem solução.

   • Ocorre quando $\text{posto}(A) \neq \text{posto}([A | \mathbf{b}])$.

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Exemplo Prático

Vamos analisar o sistema:

$$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y + 3z = 2 \\ 2x + 3y + 4z = 3 \end{cases}$$

1. Matriz dos coeficientes $A$:

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}$$

2. Matriz aumentada $[A | \mathbf{b}]$:

$$[A | \mathbf{b}] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | 1 \\ 1 & 2 & 3 & | 2 \\ 2 & 3 & 4 & | 3 \end{bmatrix}$$

3. Cálculo dos postos

Utilizamos operações elementares para escalonar a matriz.

1. Subtraímos a primeira linha da segunda e a segunda linha da terceira:

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | 1 \\ 0 & 1 & 2 & | 1 \\ 0 & 1 & 2 & | 1 \end{bmatrix}$$

2. Subtraímos a segunda linha da terceira:

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & | 1 \\ 0 & 1 & 2 & | 1 \\ 0 & 0 & 0 & | 0 \end{bmatrix}$$

Agora podemos contar os postos:

• Posto de $A$ (número de linhas não nulas): $\text{posto}(A) = 2$.

• Posto de $[A | \mathbf{b}]$ (número de linhas não nulas na matriz aumentada): $\text{posto}([A | \mathbf{b}]) = 2$.

4. Análise segundo o Teorema de Rouché-Capelli

• Como $\text{posto}(A) = \text{posto}([A | \mathbf{b}])$, o sistema é compatível (tem solução).

• Como $\text{posto}(A) = 2 < n = 3$, o sistema tem infinitas soluções.

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Conclusão

O Teorema de Rouché-Capelli é essencial para analisar a existência e o número de soluções de sistemas lineares. Ele nos permite classificar os sistemas como:

✔️ SCD (solução única) se $\text{posto}(A) = \text{posto}([A | \mathbf{b}]) = n$.
✔️ SCI (infinitas soluções) se $\text{posto}(A) = \text{posto}([A | \mathbf{b}]) < n$.
❌ SI (sem solução) se $\text{posto}(A) \neq \text{posto}([A | \mathbf{b}])$.

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