Teorema Binomial

 

🌟 Teorema Binomial – Uma Fórmula Poderosa para Expansão

O Teorema Binomial permite expandir expressões do tipo:

$$(a + b)^n$$

sem precisar multiplicar tudo manualmente! Essa fórmula é fundamental na álgebra, combinatória, probabilidade e análise matemática.

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📐 Forma Geral do Teorema Binomial

$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

Onde:

• $\binom{n}{k}$ é o coeficiente binomial ("n escolhe k")

• $a$ e $b$ são termos da expressão

• $n$ é um número natural (inteiro positivo ou zero)

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🔢 Exemplo: Expandindo $(a + b)^3$

Aplicando o teorema:

$$(a + b)^3 = \binom{3}{0} a^3 b^0 + \binom{3}{1} a^2 b^1 + \binom{3}{2} a^1 b^2 + \binom{3}{3} a^0 b^3$$ $$= 1a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 1b^3$$

✅ Resultado:

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$

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🔹 Triângulo de Pascal e os Coeficientes Binomiais

Os coeficientes $\binom{n}{k}$ podem ser obtidos diretamente do Triângulo de Pascal:

n = 0 →       1  
n = 1 →      1  1  
n = 2 →     1  2  1  
n = 3 →    1  3  3  1  
n = 4 →   1  4  6  4  1  

Cada linha dá os coeficientes de $(a + b)^n$.

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🔍 Aplicações do Teorema Binomial

• Cálculo rápido de potências binomiais

• Probabilidade (Distribuição Binomial)

• Álgebra e análise matemática

• Desenvolvimento de algoritmos

• Criptografia e teoria dos códigos

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🧠 Curiosidade Matemática

Você pode usar o Teorema Binomial para encontrar o termo geral da expansão!

O termo geral de ordem $k+1$ é:

$$T_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$

Exemplo:
O 3º termo de $(2x + 3)^5$ é:

$$T_3=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{2}\right)(2x{)}^3(3{)}^2=10\cdot 8x^3\cdot 9=720x^3$$