Técnicas de Integração 🔢📚

A integração pode ser mais desafiadora do que a diferenciação, pois não há um único método geral para todas as funções. No entanto, existem técnicas específicas para resolver integrais mais complexas.

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1. Integração por Substituição 🌟

A substituição (ou método de mudança de variável) é usada quando a integral contém uma função composta, ou seja, quando podemos identificar uma parte da função cuja derivada também está presente.

Passos

1️⃣ Escolher $u$ (uma substituição conveniente).
2️⃣ Derivar $u$, obtendo $du$.
3️⃣ Substituir na integral e resolver.
4️⃣ Voltar à variável original, se necessário.

Exemplo

Calcule:

$$I = \int (2x+3)^5 \cdot 2 \,dx$$

1️⃣ Defina $u = 2x+3$, então $du = 2dx$.

2️⃣ Reescreva a integral:

$$I = \int u^5 \, du$$

3️⃣ Resolva a integral:

$$I = \frac{u^6}{6} + C$$

4️⃣ Volte à variável original:

$$I = \frac{(2x+3)^6}{6} + C$$

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2. Integração por Partes 🔀

Útil quando a integral envolve um produto de funções. Baseia-se na fórmula:

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$

Passos

1️⃣ Escolha $u$ e $dv$.
2️⃣ Calcule $du$ e $v$ (integrando $dv$).
3️⃣ Aplique a fórmula.

Exemplo

Calcule:

$$I = \int x e^x \,dx$$

1️⃣ Escolha $u = x$ (pois sua derivada simplifica) e $dv = e^x dx$.

2️⃣ Derive $u$ e integre $dv$:

• $du = dx$

• $v = e^x$

3️⃣ Aplique a fórmula:

$$I = x e^x - \int e^x dx$$

4️⃣ Resolva a nova integral:

$$I = x e^x - e^x + C$$

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3. Integração de Frações Parciais 🧩

Usado para integrar funções racionais da forma:

$$\frac{P(x)}{Q(x)}$$

onde $P(x)$ e $Q(x)$ são polinômios. O objetivo é decompor a fração em expressões mais simples.

Passos

1️⃣ Fatorar o denominador $Q(x)$.
2️⃣ Expressar a fração como soma de frações mais simples.
3️⃣ Resolver os coeficientes.
4️⃣ Integrar cada termo separadamente.

Exemplo

Calcule:

$$I = \int \frac{1}{x^2 - 1} \,dx$$

1️⃣ Fatoramos:

$$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$$

2️⃣ Escrevemos como frações parciais:

$$\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$$

Multiplicando por $(x-1)(x+1)$, obtemos:

$$1 = A(x+1) + B(x-1)$$

Escolhendo $x = 1$ e $x = -1$, encontramos $A = \frac{1}{2}$ e $B = -\frac{1}{2}$.

3️⃣ Substituímos e integramos:

$$I = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x-1} - \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x+1}$$ $$I = \frac{1}{2} \ln|x-1| - \frac{1}{2} \ln|x+1| + C$$ $$I = \frac{1}{2} \ln \left| \frac{x-1}{x+1} \right| + C$$

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4. Integração por Substituição Trigonométrica 🎯

Útil para integrar expressões envolvendo raízes quadradas como:

$$\sqrt{a^2 - x^2}, \quad \sqrt{x^2 - a^2}, \quad \sqrt{a^2 + x^2}$$

Substituições comuns:

• $x = a \sin \theta \Rightarrow dx = a \cos \theta d\theta$

• $x = a \tan \theta \Rightarrow dx = a \sec^2 \theta d\theta$

• $x = a \sec \theta \Rightarrow dx = a \sec \theta \tan \theta d\theta$

Exemplo

Calcule:

$$I = \int \frac{dx}{\sqrt{4 - x^2}}$$

1️⃣ Use a substituição $x = 2\sin \theta$, então $dx = 2\cos \theta d\theta$.

2️⃣ O denominador se torna:

$$\sqrt{4 - 4\sin^2 \theta} = \sqrt{4(1 - \sin^2 \theta)} = \sqrt{4\cos^2 \theta} = 2\cos \theta$$

3️⃣ A integral vira:

$$I = \int \frac{2\cos \theta d\theta}{2\cos \theta} = \int d\theta = \theta + C$$

4️⃣ Como $\theta = \arcsin(x/2)$, temos:

$$I = \arcsin(x/2) + C$$

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5. Integração por Métodos Numéricos 🔢

Quando uma integral não pode ser resolvida simbolicamente, usamos métodos aproximados como:

• Regra do Trapézio

• Regra de Simpson

Eles aproximam a área sob a curva somando pequenos trapézios ou parábolas.

Exemplo (Regra do Trapézio)

Aproxime:

$$\int_{0}^{2} x^2 \,dx$$

Dividindo $[0,2]$ em $n = 2$ subintervalos:

$$I \approx \frac{h}{2} \left[ f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2) \right]$$

Com $h = 1$, temos:

$$I \approx \frac{1}{2} \left[ 0^2 + 2(1^2) + 2^2 \right] = \frac{1}{2} \times (0 + 2 + 4) = 3$$

O valor exato seria $\frac{8}{3} \approx 2.67$, mostrando um erro pequeno.

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Conclusão ✅

As técnicas de integração nos permitem resolver uma ampla variedade de problemas. Cada método tem sua aplicação ideal, e a prática ajuda a escolher a melhor abordagem para cada caso.