Princípios de Contagem

 

🔢 Princípios de Contagem – A Base da Combinatória

Os princípios de contagem são ferramentas fundamentais da combinatória que ajudam a contar possibilidades de forma rápida e lógica, sem ter que listar todos os casos manualmente.

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📌 1. Princípio da Multiplicação (ou Princípio Fundamental da Contagem)

Se uma tarefa é composta por etapas sucessivas, e:

• a primeira etapa pode ser realizada de $m$ maneiras

• a segunda de $n$ maneiras

Então o número total de maneiras de realizar ambas é:

$$\text{Total} = m \times n$$

✅ Exemplo:

Um carro pode ser comprado com:

• 4 cores diferentes

• 3 modelos de roda

Quantas combinações possíveis?
→ $4 \times 3 = 12$ combinações

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📌 2. Princípio da Adição

Se uma tarefa pode ser feita de duas formas diferentes, mutuamente exclusivas (ou seja, não ocorrem ao mesmo tempo), e:

• a primeira forma tem $m$ possibilidades

• a segunda tem $n$ possibilidades

Então o total de possibilidades é:

$$\text{Total} = m + n$$

✅ Exemplo:

Um restaurante oferece:

• 5 pratos quentes

• 3 saladas

Escolher um ou outro:
→ $5 + 3 = 8$ opções diferentes

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🧠 3. Princípio da Inclusão e Exclusão (Avançado)

Usado quando há sobreposição entre opções (não são mutuamente exclusivas).

$$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$$

✅ Exemplo:

Em uma turma:

• 20 alunos gostam de matemática

• 15 gostam de física

• 10 gostam de ambas

Quantos gostam de pelo menos uma?

$$20 + 15 - 10 = 25 \text{ alunos}$$

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📦 Resumo dos Princípios

Princípio	Quando usar	Fórmula
Multiplicação	Etapas sucessivas	$m \times n$
Adição	Opções alternativas, exclusivas	$m + n$
Inclusão/Exclusão	Opções alternativas, sobreposição	$A + B - A \cap B$

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🛠️ Aplicações práticas

• Criação de senhas

• Combinação de roupas

• Montagem de cardápios

• Planejamento de rotas

• Programação de horários