Modelagem com Equações Diferenciais 🌍📈

A modelagem com equações diferenciais é uma das aplicações mais poderosas da matemática. Ela permite representar fenômenos do mundo real por meio de equações que envolvem derivadas — ou seja, descrevendo como as coisas mudam ao longo do tempo ou do espaço.

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🧩 O que é Modelar com EDOs?

É o processo de:

1. Observar um fenômeno

2. Traduzir suas leis ou comportamentos em equações

3. Resolver as equações para entender ou prever o comportamento do sistema

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🔹 Passos da Modelagem com EDOs

1. Definir as variáveis: identificar o que está mudando (ex: população, temperatura, velocidade…)

2. Estabelecer relações entre as variáveis e suas taxas de variação.

3. Montar a EDO

4. Resolver a EDO (analiticamente ou numericamente)

5. Interpretar os resultados no contexto do problema

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📚 Exemplos Clássicos de Modelagem

✅ 1. Crescimento Populacional

Modelo exponencial:

$$\frac{dP}{dt} = kP$$

Solução:

$$P(t) = P_0 e^{kt}$$

$P_0$: população inicial
$k$: taxa de crescimento

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✅ 2. Decaimento Radioativo

Modelo:

$$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$$

Solução:

$$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$$

$N_0$: quantidade inicial
$\lambda$: constante de decaimento

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✅ 3. Resfriamento de Newton

$$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_a)$$

$T$: temperatura do corpo
$T_a$: temperatura ambiente
$k$: constante de resfriamento

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✅ 4. Movimento de uma Mola (Lei de Hooke)

$$m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$$

$m$: massa
$x(t)$: posição
$k$: constante da mola

Solução: movimento harmônico simples.

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✅ 5. Epidemias – Modelo SIR

$$\begin{cases} \frac{dS}{dt} = -\beta SI \\ \frac{dI}{dt} = \beta SI - \gamma I \\ \frac{dR}{dt} = \gamma I \end{cases}$$

$S$: suscetíveis
$I$: infectados
$R$: recuperados
$\beta$: taxa de contágio
$\gamma$: taxa de recuperação

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✅ 6. Circuito Elétrico (RLC)

$$L\frac{d^2q}{dt^2} + R\frac{dq}{dt} + \frac{1}{C}q = E(t)$$

$q(t)$: carga elétrica
$L, R, C$: indutância, resistência e capacitância
$E(t)$: força eletromotriz aplicada

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🔧 Ferramentas Usadas em Modelagem com EDOs

• Soluções analíticas (resolvidas "na mão")

• Métodos numéricos (Euler, Runge-Kutta)

• Softwares como:

  • Python (SciPy, NumPy, Matplotlib)

  • MATLAB

  • Wolfram Mathematica

  • GeoGebra

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🧠 Vantagens da Modelagem com EDOs

✔ Clareza matemática do fenômeno
✔ Possibilidade de prever comportamentos futuros
✔ Aplicável em diversas áreas (engenharia, biologia, física, economia...)
✔ Base para simulações computacionais