Limites e Continuidade

 

Limites e Continuidade 📈🔢

Os conceitos de limite e continuidade são fundamentais no Cálculo e servem como base para derivadas, integrais e diversas aplicações matemáticas.

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1. Limite de uma Função

O limite de uma função descreve o comportamento da função à medida que a variável independente ($x$) se aproxima de um determinado valor.

1.1 Definição Intuitiva

Dizemos que o limite de $f(x)$ quando $x$ tende a $a$ é $L$ se os valores de $f(x)$ se aproximam de $L$ quando $x$ se aproxima de $a$, independentemente de $f(a)$ estar definida ou não.

Matematicamente, escrevemos:

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$

Isso significa que, conforme $x$ se aproxima de $a$, $f(x)$ se aproxima de $L$.

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1.2 Limites Laterais

O limite pode ser analisado separadamente pelos valores de $x$ que se aproximam de $a$ pela esquerda ($x \to a^-$) ou pela direita ($x \to a^+$):

$$\lim_{x \to a^-} f(x) = L_1 \quad \text{(limite pela esquerda)}$$ $$\lim_{x \to a^+} f(x) = L_2 \quad \text{(limite pela direita)}$$

Se os limites laterais forem iguais, então o limite da função existe:

$$\lim_{x \to a} f(x) = L_1 = L_2$$

Caso contrário, o limite não existe.

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1.3 Limite Infinito e Assíntotas

Se $f(x)$ cresce ou decresce indefinidamente à medida que $x$ se aproxima de $a$, dizemos que o limite é infinito:

$$\lim_{x \to a} f(x) = \infty \quad \text{ou} \quad \lim_{x \to a} f(x) = -\infty$$

Isso indica a presença de uma assíntota vertical na reta $x = a$.

Se o limite da função quando $x \to \infty$ é um valor finito $L$, então $y = L$ é uma assíntota horizontal.

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1.4 Propriedades dos Limites

Algumas propriedades úteis ao calcular limites:

1. Soma:

   $$\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)$$

2. Produto:

   $$\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = (\lim_{x \to a} f(x)) \cdot (\lim_{x \to a} g(x))$$

3. Quociente:

   $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}, \quad \text{se } \lim_{x \to a} g(x) \neq 0$$

4. Constante multiplicativa:

   $$\lim_{x \to a} [c \cdot f(x)] = c \cdot \lim_{x \to a} f(x)$$

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2. Continuidade de uma Função

Uma função é contínua em um ponto $x = a$ se:

1. $f(a)$ está definida.

2. $\lim_{x \to a} f(x)$ existe.

3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.

Ou seja, a função não apresenta "buracos" ou "saltos" nesse ponto.

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2.1 Tipos de Descontinuidade

Se uma função não for contínua em $x = a$, pode haver diferentes tipos de descontinuidade:

1. Descontinuidade Removível 🕳️

   • O limite existe, mas a função não está definida em $a$ ou $f(a)$ tem um valor diferente do limite.

   • Exemplo:

     $$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1}, & x \neq 1 \\ 3, & x = 1 \end{cases}$$

     O limite quando $x \to 1$ é 2, mas $f(1) = 3$, então há descontinuidade removível.

2. Descontinuidade de Salto ⬆️⬇️

   • O limite lateral esquerdo é diferente do direito.

   • Exemplo:

     $$f(x) = \begin{cases} 2, & x < 3 \\ 5, & x \geq 3 \end{cases}$$

     Como $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 2$ e $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 5$, há um salto na função.

3. Descontinuidade Infinita ♾️

   • A função tende a infinito quando $x \to a$, indicando uma assíntota vertical.

   • Exemplo:

     $$f(x) = \frac{1}{x - 2}$$

     O limite quando $x \to 2$ é $\infty$ ou $-\infty$, indicando uma descontinuidade infinita.

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3. Exercícios Práticos 📝

3.1 Cálculo de Limites

1. Calcule o limite:

   $$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$$

   Solução
   Fatoramos $x^2 - 4$:

   $$\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$$

   Simplificamos:

   $$\lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$$

2. Calcule:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$$

   Solução:
   Um resultado fundamental do Cálculo afirma que:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

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3.2 Verificação de Continuidade

Determine se a função abaixo é contínua em $x = 1$:

$$f(x) = \begin{cases} x^2, & x < 1 \\ 2, & x = 1 \\ x + 1, & x > 1 \end{cases}$$

Solução

1. Verificamos $\lim_{x \to 1^-} f(x)$:

   $$\lim_{x \to 1^-} x^2 = 1$$

2. Verificamos $\lim_{x \to 1^+} f(x)$:

   $$\lim_{x \to 1^+} (x + 1) = 2$$

3. Como $\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x)$, há descontinuidade de salto em $x = 1$.

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Conclusão ✅

Os conceitos de limite e continuidade são essenciais para entender o comportamento das funções e desenvolver ferramentas mais avançadas, como derivadas e integrais.