Integrais Definidas e Indefinidas 🔢📏

A integração é uma das principais operações do cálculo e pode ser vista como o inverso da derivação. Existem dois tipos principais de integrais:

• Integrais indefinidas: usadas para encontrar funções primitivas.

• Integrais definidas: usadas para calcular áreas e somatórios contínuos.

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1. Integrais Indefinidas

Uma integral indefinida representa a família de funções cuja derivada resulta na função dada.

Definição

Se $F(x)$ é uma função tal que sua derivada é $f(x)$, então a integral indefinida de $f(x)$ é:

$$\int f(x) \,dx = F(x) + C$$

onde $C$ é a constante de integração, pois a derivada de uma constante é zero.

Exemplos

1️⃣ Integral de uma potência

$$\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1$$

Exemplo:

$$\int x^3 \,dx = \frac{x^4}{4} + C$$

2️⃣ Integral de uma função exponencial

$$\int e^x \,dx = e^x + C$$

3️⃣ Integral de uma função trigonométrica

$$\int \cos x \,dx = \sin x + C$$ $$\int \sin x \,dx = -\cos x + C$$

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2. Integrais Definidas

Uma integral definida calcula a área sob a curva de uma função $f(x)$ no intervalo $[a, b]$.

Definição

Se $F(x)$ é uma primitiva de $f(x)$, então a integral definida é dada por:

$$\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$$

Exemplo

Seja $f(x) = x^2$. Para calcular a integral no intervalo $[1,3]$:

1️⃣ Encontre a primitiva:

$$\int x^2 \,dx = \frac{x^3}{3} + C$$

2️⃣ Calcule $F(b) - F(a)$:

$$F(3) = \frac{3^3}{3} = \frac{27}{3} = 9$$ $$F(1) = \frac{1^3}{3} = \frac{1}{3}$$ $$\int_{1}^{3} x^2 \,dx = 9 - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}$$

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3. Teorema Fundamental do Cálculo

Esse teorema conecta a derivação e a integração, afirmando que:

1. Se $F(x)$ é uma primitiva de $f(x)$, então:

   $$\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$$

2. Se $f(x)$ é contínua, então a derivada da integral acumulada é:

   $$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \,dt = f(x)$$

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4. Aplicações das Integrais

4.1 Cálculo de Áreas

A integral definida pode ser usada para calcular áreas sob curvas. Se $f(x) \geq 0$, a área entre $a$ e $b$ é:

$$A = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$$

Se $f(x)$ for negativa, a integral representa uma área negativa.

4.2 Cálculo de Volumes

Podemos calcular volumes de sólidos de revolução usando o método dos discos:

$$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \,dx$$

4.3 Física e Engenharia

• Trabalho realizado por uma força variável:

  $$W = \int_{a}^{b} F(x) \,dx$$

• Carga elétrica acumulada:

  $$Q = \int_{0}^{T} I(t) \,dt$$

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Conclusão ✅

As integrais são fundamentais no cálculo e têm inúmeras aplicações na matemática e no mundo real. Elas nos ajudam a encontrar primitivas, calcular áreas, volumes e resolver problemas físicos e econômicos.