Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) 🧮📘

As Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) são equações que relacionam uma função desconhecida com suas derivadas. Elas aparecem frequentemente em situações em que se quer modelar como algo muda ao longo do tempo ou de outra variável — como crescimento populacional, velocidade, temperatura, ou corrente elétrica.

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🔹 Definição de EDO

Uma EDO envolve derivadas ordinárias de uma ou mais funções em relação a uma única variável independente (geralmente $x$ ou $t$).

Exemplo básico:

$$\frac{dy}{dx} = y$$

Essa equação diz que a taxa de variação da função $y$ é igual a ela mesma.

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🔹 Classificação das EDOs

✅ 1. Ordem da EDO

A ordem é o grau da derivada mais alta presente na equação.

• 1ª ordem: $\frac{dy}{dx} + y = 0$

• 2ª ordem: $\frac{d^2y}{dx^2} + 4y = 0$

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✅ 2. Linearidade

Uma EDO é linear se a função desconhecida e suas derivadas aparecem de forma linear (sem potências ou multiplicações entre elas).

• Linear: $y' + 2y = \sin(x)$

• Não linear: $y' = y^2$

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✅ 3. Autonomia

Uma EDO é autônoma quando a variável independente não aparece explicitamente.

• Autônoma: $\frac{dy}{dt} = y(1 - y)$

• Não autônoma: $\frac{dy}{dt} = t \cdot y$

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🔹 Soluções de EDOs

Uma solução geral é uma família de funções que satisfaz a EDO.
Uma solução particular é obtida quando temos condições iniciais.

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🔹 Métodos para Resolver EDOs de 1ª Ordem

📌 1. Separação de Variáveis

Quando podemos escrever:

$$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \Rightarrow \frac{dy}{g(y)} = f(x) dx$$

Depois, integramos os dois lados.

Exemplo:

$$\frac{dy}{dx} = y \Rightarrow \frac{dy}{y} = dx \Rightarrow \ln|y| = x + C \Rightarrow y = Ce^x$$

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📌 2. Equações Lineares de 1ª Ordem

Equação na forma:

$$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$

Usa-se o fator integrante $\mu(x) = e^{\int P(x)dx}$

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📌 3. Equações Exatas

Se a equação puder ser escrita como:

$$M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0$$

E satisfaz $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$, então é exata.

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🔹 EDOs de 2ª Ordem (e superiores)

Geralmente aparecem em física e engenharia.

Exemplo:

$$m \frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$$

Essa é a equação de um sistema massa-mola. Sua solução é uma função trigonométrica (movimento harmônico).

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🔹 Aplicações das EDOs na Vida Real 🌍

1. Física – movimento de partículas, leis de Newton.

2. Biologia – crescimento populacional, epidemias.

3. Economia – modelos de juros compostos, oferta e demanda.

4. Engenharia – circuitos elétricos (Lei de Kirchhoff), dinâmica de fluidos.

5. Química – taxas de reação.

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🔹 Exemplo de EDO Aplicada – Crescimento Populacional

Modelo exponencial:

$$\frac{dP}{dt} = kP$$

Solução:

$$P(t) = P_0 e^{kt}$$

Onde:

• $P_0$ é a população inicial

• $k$ é a taxa de crescimento