Derivadas Parciais 🔢📊

As derivadas parciais são uma extensão do conceito de derivada para funções de várias variáveis. Elas são amplamente utilizadas em física, engenharia, economia e machine learning, onde muitos fenômenos dependem de múltiplas variáveis.

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1. O que são Derivadas Parciais?

Se uma função $f(x, y)$ depende de duas ou mais variáveis independentes, podemos calcular sua taxa de variação em relação a cada variável separadamente, mantendo as outras constantes.

A derivada parcial de $f(x, y)$ em relação a $x$ é denotada por:

$$\frac{\partial f}{\partial x}$$

E a derivada parcial em relação a $y$:

$$\frac{\partial f}{\partial y}$$

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2. Como Calcular Derivadas Parciais?

Para calcular $\frac{\partial f}{\partial x}$, derivamos $f(x, y)$ como se $y$ fosse uma constante.

Para calcular $\frac{\partial f}{\partial y}$, derivamos $f(x, y)$ como se $x$ fosse uma constante.

Exemplo 1

Seja $f(x, y) = x^2 y + 3xy^2$.

1️⃣ Derivada parcial em relação a $x$:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{d}{dx} (x^2 y + 3xy^2) = 2xy + 3y^2$$

2️⃣ Derivada parcial em relação a $y$:

$$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{dy} (x^2 y + 3xy^2) = x^2 + 6xy$$

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3. Notação das Derivadas Parciais

Existem várias maneiras de representar derivadas parciais:

• $f_x$ e $f_y$ (notação simplificada)

• $\frac{\partial f}{\partial x}$ e $\frac{\partial f}{\partial y}$ (notação de Leibniz)

• $D_x f$ e $D_y f$ (notação diferencial)

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4. Derivadas de Ordem Superior

Assim como em funções de uma variável, podemos calcular derivadas de segunda ordem:

• Segunda derivada parcial em relação a $x$:

  $$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$$

• Segunda derivada parcial em relação a $y$:

  $$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$$

• Derivada mista:

  $$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$$

Exemplo 2

Se $f(x, y) = x^3y + 4xy^2$, então:

1️⃣ Primeiras derivadas:

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 y + 4y^2$$ $$\frac{\partial f}{\partial y} = x^3 + 8xy$$

2️⃣ Segundas derivadas:

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6xy$$ $$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 8x$$

3️⃣ Derivadas mistas:

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 3x^2 + 8y$$ $$\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 3x^2 + 8y$$

Observação: $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ (Teorema de Schwarz).

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5. Aplicações das Derivadas Parciais 🌎

As derivadas parciais são amplamente usadas em diversas áreas:

5.1 Física: Equações Diferenciais Parciais (EDPs)

• A equação do calor:

  $$\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

• A equação da onda:

  $$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

5.2 Economia: Elasticidade e Funções de Produção

Se $z = f(x, y)$ representa a produção de uma empresa dependendo de dois insumos ($x$ e $y$), as derivadas parciais indicam como a produção varia com mudanças nos insumos.

5.3 Machine Learning: Gradiente e Otimização

Em redes neurais, o gradiente descendente usa derivadas parciais para minimizar a função de erro $E(w, b)$:

$$\frac{\partial E}{\partial w}, \quad \frac{\partial E}{\partial b}$$

Isso permite ajustar os pesos da rede neural para melhorar a previsão.

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6. Gradiente: A Direção de Máxima Variação

O gradiente de uma função multivariável $f(x, y)$ é um vetor formado pelas derivadas parciais:

$$\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right)$$

Esse vetor aponta para a direção de maior crescimento da função.

Exemplo 3

Se $f(x, y) = x^2 + y^2$, então:

$$\nabla f = (2x, 2y)$$

No ponto $(1, 2)$:

$$\nabla f(1,2) = (2,4)$$

Ou seja, o crescimento mais rápido ocorre na direção $(2,4)$.

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7. Conclusão ✅

As derivadas parciais são essenciais para estudar funções com várias variáveis. Elas aparecem em física, economia, engenharia e inteligência artificial.