Derivadas e Regras de Derivação

 

Derivadas e Regras de Derivação 📈🔢

A derivada é um dos conceitos mais importantes do Cálculo Diferencial, representando a taxa de variação de uma função em relação à sua variável independente. Em termos geométricos, a derivada de uma função em um ponto fornece a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto.

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1. Definição de Derivada

A derivada de uma função $f(x)$ em um ponto $x = a$ é definida como o limite:

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

Esse quociente representa a taxa de variação média de $f(x)$ no intervalo $[a, a+h]$, e seu limite, se existir, fornece a taxa de variação instantânea no ponto $x = a$.

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2. Interpretação Geométrica

• A derivada representa a inclinação da reta tangente ao gráfico da função.

• Se $f'(x) > 0$, a função está crescendo nesse ponto.

• Se $f'(x) < 0$, a função está decrescendo nesse ponto.

• Se $f'(x) = 0$, pode haver um máximo ou mínimo local.

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3. Regras de Derivação

A derivada de uma função pode ser calculada utilizando regras práticas, que simplificam o processo de diferenciação.

3.1 Regra da Potência

Se $f(x) = x^n$, então:

$$f'(x) = n \cdot x^{n-1}$$

Exemplo:

$$f(x) = x^3 \quad \Rightarrow \quad f'(x) = 3x^2$$

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3.2 Regra do Produto

Se $f(x) = u(x) \cdot v(x)$, então:

$$f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)$$

Exemplo:
Se $f(x) = x^2 \cdot \sin x$, então:

$$f'(x) = 2x \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x$$

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3.3 Regra do Quociente

Se $f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$, então:

$$f'(x) = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{v(x)^2}$$

Exemplo:
Se $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$, então:

$$f'(x) = \frac{(2x)(x+1) - x^2(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}$$

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3.4 Regra da Cadeia

Se $f(x) = g(h(x))$, então:

$$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$$

Exemplo:
Se $f(x) = (3x^2 + 1)^5$, então:

$$f'(x) = 5(3x^2 + 1)^4 \cdot (6x) = 30x (3x^2 + 1)^4$$

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4. Derivadas de Funções Comuns

Função $f(x)$	Derivada $f'(x)$
$c$ (constante)	$0$
$x^n$	$n x^{n-1}$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\sec^2 x$

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5. Aplicações das Derivadas

5.1 Taxa de Variação Instantânea

A derivada pode representar velocidade, aceleração, taxa de crescimento populacional, entre outros.

Exemplo:
Se a posição de um carro é dada por $s(t) = t^3 - 5t^2 + 3t$, então a velocidade é:

$$v(t) = s'(t) = 3t^2 - 10t + 3$$

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5.2 Máximos e Mínimos (Extremos Locais)

Para encontrar máximos e mínimos de $f(x)$:

1. Encontramos os pontos onde $f'(x) = 0$.

2. Analisamos o sinal de $f'(x)$ antes e depois desses pontos.

Exemplo:
Dado $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$, temos:

$$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$$

Resolvendo $3x^2 - 6x + 2 = 0$, encontramos os pontos críticos. A análise do sinal de $f'(x)$ determina se são máximos ou mínimos.

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5.3 Concavidade e Pontos de Inflexão

A segunda derivada $f''(x)$ nos informa sobre a curvatura da função:

• Se $f''(x) > 0$, a função é côncava para cima (sorriso 😀).

• Se $f''(x) < 0$, a função é côncava para baixo (triste ☹️).

• Se $f''(x) = 0$ e há mudança de sinal, temos um ponto de inflexão.

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Conclusão ✅

As derivadas são essenciais para entender o comportamento das funções e possuem inúmeras aplicações em engenharia, física, economia e outras áreas.