Combinatória

 

🎲 Combinatória – A Arte de Contar de Forma Inteligente

A combinatória é o ramo da matemática que estuda métodos de contagem, arranjos e combinações de elementos dentro de conjuntos. Ela é fundamental em áreas como probabilidade, estatística, criptografia, ciência da computação, e até mesmo em jogos e concursos.

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📚 Principais Conceitos da Combinatória

🔹 Princípio Fundamental da Contagem

Se uma ação pode ser feita de $n$ maneiras e uma outra de $m$ maneiras, então as duas juntas podem ser feitas de $n \times m$ maneiras.

Exemplo:
Se há 3 tipos de camisas e 4 tipos de calças, então existem
$3 \times 4 = 12$ combinações possíveis de roupas.

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🔹 Fatorial (!)

O fatorial de um número $n$ é o produto de todos os inteiros positivos até $n$:

$$n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdots 1$$

Exemplo:
$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$

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🔢 Permutações

👉 Permutação Simples

É a ordem diferente de $n$ elementos distintos:

$$P(n) = n!$$

Exemplo:
De quantas formas 4 pessoas podem sentar em 4 cadeiras?
→ $4! = 24$ formas diferentes.

👉 Permutação com Repetição

Quando há elementos repetidos:

$$P(n; a, b, c, \ldots) = \frac{n!}{a! \cdot b! \cdot c! \cdots}$$

Exemplo:
Quantas palavras diferentes podemos formar com as letras da palavra ANA?
→ $\frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3$

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🧩 Arranjos

👉 Arranjo Simples (Sem repetição)

Ordem importa, mas os elementos são diferentes:

$$A(n, p) = \frac{n!}{(n - p)!}$$

Exemplo:
Quantos códigos de 3 letras podem ser feitos com 5 letras diferentes?
→ $A(5, 3) = \frac{5!}{2!} = 60$

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🧮 Combinações

👉 Combinação Simples (Sem repetição)

Ordem não importa, só importa o grupo:

$$C(n, p) = \binom{n}{p} = \frac{n!}{p! \cdot (n - p)!}$$

Exemplo:
De um grupo de 10 pessoas, quantas comissões de 4 pessoas podemos formar?
→ $C(10, 4) = 210$

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🧠 Resumo Rápido: Diferença entre Arranjo, Permutação e Combinação

Tipo	Ordem importa?	Elementos repetem?	Fórmula
Permutação	✅ Sim	❌ Não	$P(n) = n!$
Arranjo	✅ Sim	❌ Não	$A(n, p) = \frac{n!}{(n - p)!}$
Combinação	❌ Não	❌ Não	$C(n, p) = \frac{n!}{p!(n - p)!}$

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🔍 Aplicações da Combinatória

• Loterias e jogos (quantidade de combinações possíveis)

• Criptografia (quantas senhas possíveis)

• Genética (combinações de genes)

• Planejamento (distribuição de recursos)

• Computação (algoritmos, estruturas de dados)